协方差矩阵最大奇异值边缘普适性的一个充要条件

本文证明了具有一般总体的样本协方差矩阵边缘普适性的一个充要条件。我们考虑形如$\mathcal Q = TX(TX)^{*}$的样本协方差矩阵，其中样本$X$是一个$M_2\times N$随机矩阵，其元素独立同分布，均值为零，方差为$N^{-1}$，而$T$是一个$M_1 \times M_2$确定性矩阵，满足$T^* T$是对角矩阵。我们研究当$M:=\min\{M_1,M_2\}$和$N$趋于无穷大且$\lim_{N \to \infty} {N}/{M}=d \in (0, \infty)$时，$\mathcal Q$最大特征值的渐近行为。在对$T$的温和假设下，我们证明Tracy-Widom定律对$\mathcal Q$的最大特征值成立当且仅当$\lim_{s \rightarrow \infty}s^4 \mathbb{P}(| \sqrt{N} x_{ij}| \geq s)=0$。这一条件最初由Lee和Yin针对Wigner矩阵提出。