协方差矩阵的普适性

本文证明了形式为 $H_{N\times N}={X}^{\dagger}X$ 的协方差矩阵的普适性，其中 $X$ 是一个 ${M\times N}$ 的矩形矩阵，其独立实值元素 $x_{ij}$ 满足 $\mathbb{E}x_{ij}=0$ 和 $\mathbb{E}x^2_{ij}={\frac{1}{M}}$，且 $N$, $M\to \infty$。此外，假设这些元素具有次指数尾部或足够高阶的矩。我们将研究 $N/M=d_N\in(0,\infty),\lim_{N\to\infty}d_N\neq0,\infty$ 这一区域的渐近行为。我们的主要结果是样本协方差矩阵在谱两端处的边缘普适性。在 $\lim_{N\to\infty}d_N=1$ 的情况下，我们仅关注最大特征值。我们的证明基于针对具有相关元素的数据矩阵的一种新型格林函数比较定理。在证明边缘普适性的过程中，我们确立了 $H$ 的经验特征值分布的 Stieltjes 变换由 Marcenko-Pastur 律给出，且在谱边缘处具有 $(N\eta)^{-1}$ 量级的误差，其中 $\eta$ 是 Stieltjes 变换中谱参数的虚部。结合现有技术，我们还证明了协方差矩阵的体普适性。我们的所有结果对实值和复值元素均成立。