随机协方差矩阵：特征值局部统计的普适性

我们研究了一个大型矩形矩阵 $M=M_{n,p}=(\zeta_{ij})_{1\leq i\leq p;1\leq j\leq n}$ 的协方差矩阵 $\frac{1}{n}M^*M$ 的特征值，该矩阵的条目是独立同分布的随机变量，均值为零，方差为一，并且对于某个足够大的常数 $C_0$ 具有有限的 $C_0$ 阶矩。本文的主要结果是关于独立同分布协方差矩阵的四矩定理（类似于作者在 [Acta Math. (2011) Random matrices: Universality of local eigenvalue statistics]（另见 [Comm. Math. Phys. 298 (2010) 549--572]）中为 Wigner 矩阵建立的四矩定理）。我们可以利用该定理以及现有结果，在温和条件下建立特征值局部统计的普适性。作为我们论证的一个副产品，我们还将之前关于随机 Hermitian 矩阵的结果推广到条目具有有限 $C_0$ 阶矩（而非指数衰减）的情形。