广义四矩定理及其在大型协方差矩阵尖峰特征值中心极限定理中的应用

我们考虑一种更广义的尖峰协方差矩阵 $\Sigma$，它是一个一般非定矩阵，其尖峰特征值散布于少数块中，且最大的特征值允许趋于无穷。通过将四阶矩的匹配放宽为尾概率衰减，我们提出了一个{\it 广义四矩定理}（G4MT），以证明广义尖峰协方差矩阵局部谱统计渐近律的普适性，这意味着广义尖峰协方差矩阵尖峰特征值的极限分布独立于满足我们放宽假设的样本的实际分布。此外，通过将其应用于广义尖峰协方差矩阵尖峰特征值的中心极限定理（CLT），我们还将 Bai 和 Yao（2012）的结果推广到总体协方差矩阵的一般形式，其中不必然要求四阶矩存在，且尖峰特征值允许依赖于非尖峰特征值，从而更好地契合实际情况。