大型随机协方差矩阵线性谱统计量的高斯涨落

考虑 $N\times n$ 矩阵 $\Sigma_n=\frac{1}{\sqrt{n}}R_n^{1/2}X_n$，其中 $R_n$ 是非负定 Hermitian 矩阵，$X_n$ 是具有独立同分布实或复标准化条目的随机矩阵。在矩阵 $\Sigma_n$ 的两个维度以相同速率趋于无穷大且 $f$ 属于 $C^3$ 类（即具有三个连续导数）的情形下，特征值的线性统计量 $$\operatorname {Trace}f \bigl(\Sigma_n\Sigma_n^*\bigr)=\sum_{i=1}^Nf(\lambda_i),\qquad (\lambda_i)\ eigenvalues\ of\ \Sigma_n\Sigma_n^*,$$ 的涨落被证明是高斯的。相对于 Bai 和 Silverstein 的中心极限定理 [Ann. Probab. 32 (2004) 553-605]，主要改进有两点：首先，我们考虑具有有限四阶矩但四阶累积量非零的一般条目，即其四阶矩可能不同于（实或复）高斯随机变量的矩。因此，与 $\vert \mathcal{V}\vert ^2=\bigl|\mathbb{E}\bigl(X_{11}^n\bigr) ^2\bigr|^2$ 和 $\kappa=\mathbb{E}\bigl \vert X_{11}^n\bigr \vert ^4-\vert {\mathcal{V}}\vert ^2-2$ 成正比的额外项出现在极限方差和极限偏差中，这些项不仅依赖于矩阵 $R_n$ 的谱，还依赖于其特征向量。其次，我们通过借助 Helffer-Sj"{o}strand 公式表示线性统计量，放松了对 $f$ 的解析性假设。该中心极限定理用线性统计量分布与高斯概率分布之间趋于零的 L\'{e}vy-Prohorov 距离来表示，后者的均值和方差依赖于 $N$ 和 $n$ 且可能不收敛。