随机带状矩阵线性特征值统计量的波动

我们考虑随机带状 $n\times n$ 矩阵的线性特征值统计量的波动，其矩阵元具有形式 $\mathcal{M}_{ij}=b^{-1/2}u^{1/2}(|i-j|)\tilde w_{ij}$，其中 $w_{ij}$ 为独立同分布且具有 $(4+\varepsilon)$ 阶矩，函数 $u$ 具有有限支撑 $[-C^*,C^*]$，从而 $M$ 只有 $2C_*b+1$ 个非零对角带。参数 $b$（称为带宽）假设随 $n$ 增长且满足 $b/n\to 0$。在对 $b$ 的增长无任何额外假设下，我们证明了对相当广泛的测试函数类，线性特征值统计量满足中心极限定理（CLT）。因此我们改进并推广了先前论文 [8] 和 [11] 的结果，其中 CLT 是在假设 $n>>b>>n^{1/2}$ 下证明的。此外，我们开发了一种方法，可自动证明对随机矩阵论中几乎所有经典模型（变形维格纳矩阵和样本协方差矩阵、稀疏矩阵、稀释随机矩阵、重尾矩阵等）的光滑测试函数的线性特征值统计量的 CLT。