当 $N/M\rightarrow0$ 时样本协方差矩阵线性特征值统计量的渐近展开与中心极限定理

本文研究重正化的实样本协方差矩阵 $H=X^TX/\sqrt{MN}-\sqrt{M/N}$，其中当 $N, M\rightarrow \infty$ 时 $N/M\rightarrow0$，并始终假设 $M=M(N)$。此处 $X=[X_{jk}]_{M\times N}$ 是一个 $M\times N$ 的实随机矩阵，其元素独立同分布，且我们假设对于某个小的正数 $\delta$，有 $\mathbb{E}|X_{11}|^{5+\delta}<\infty$。我们考虑了 Stieltjes 变换 $m_N(z)=N^{-1}Tr(H-z)^{-1}$ 以及 $H$ 的线性特征值统计量。本文主要关注 $\mathbb{E}\{m_N(z)\}$ 的渐近展开。随后，对于某些精细的检验函数，我们建立了 $H$ 的线性特征值统计量的中心极限定理。我们证明，其极限正态分布的方差与具有高斯元素的实 Wigner 矩阵的情形一致。