大样本协方差矩阵特征向量的渐近性

设 {$X_{ij}$}，$i,j=\ldots,$ 为一列独立同分布的复随机变量双指标数组，满足 $EX_{11}=0$，$E|X_{11}|^2=1$ 且 $E|X_{11}|^4<\infty$。令 $A_n=\frac{1}{N}T_n^{{1}/{2}}X_nX_n^*T_n^{{1}/{2}}$，其中 $T_n^{{1}/{2}}$ 是非负定矩阵 $T_n$ 的平方根，$X_n$ 是该双指标数组左上角构成的 $n\times N$ 矩阵。矩阵 $A_n$ 可视为来自均值为零、协方差矩阵为 $T_n$ 的总体的独立同分布样本的样本协方差矩阵，或当 $T_n$ 为另一样本协方差矩阵的逆时的多元 $F$ 矩阵。为研究 $A_n$ 的特征向量的极限行为，我们定义了一种带特征向量权重的经验谱分布，并证明其与等权重的经验谱分布具有相同的极限谱分布。此外，若 {$X_{ij}$} 与 $T_n$ 为实或复且附加若干矩条件，则由 $A_n$ 的特征向量定义的线性谱统计被证明具有高斯极限，这表明当 $T_n$ 为单位矩阵的倍数时 $A_n$ 的特征向量矩阵近似 Haar 分布，对 Wishart 矩阵而言这是一个直接推论。