乘积系综特征值的经验分布

假设有限个复随机变量构成一个行列式点过程，我们得到了关于这些随机变量经验分布极限的定理。该结果被应用于两类 $n$ by $n$ 随机矩阵特征值经验分布的极限（当 $n$ 趋于无穷时）。第一类是 $m$ 个独立同分布（复）Ginibre系综的乘积，第二类是 $m$ 个独立Haar酉矩阵截断的乘积，其尺寸为 $n_j\times n_j$（$1\leq j \leq m$）。假设 $m$ 依赖于 $n$，利用我们建立的特征值特殊结构，无论 $m$ 相对于 $n$ 的速度如何，都得到了谱分布的显式极限。对于 $m$ 个Ginibre系综的乘积，当 $m$ 固定时，其极限分布已由多位作者知晓，例如 G\"{o}tze 和 Tikhomirov (2010)、Bordenave (2011)、O'Rourke 和 Soshnikov (2011) 以及 O'Rourke 等人 (2014)。我们的结果适用于任何可能依赖于 $n$ 的 $m\geq 1$。对于Haar不变酉矩阵截断的乘积，我们展示了随着 $n_j/n$ 变化极限分布表现出的丰富特征。此外，还推导了关于任意旋转不变行列式点过程的一些一般结果。特别地，我们得到了构成行列式点过程的复随机变量线性统计四阶矩的一个不等式。该不等式此前仅知适用于复Ginibre系综 [Hwang (1986)]。我们的方法是行列式点过程，而非Hwang的围道积分。