随机酉矩阵截断的特征值研究

我们考虑一个$n\times n$随机酉矩阵（按Haar测度分布）的$m\times m$主子矩阵的经验的 eigenvalue 分布。Petz和R\'effy的早期工作确定了当$\frac{m}{n}\to\alpha$（$n\to\infty$）时的极限谱测度；在适当缩放下，极限测度族$\{\mu_\alpha\}_{\alpha\in(0,1)}$在单位圆盘上的均匀测度（小$\alpha$时）与单位圆上的均匀测度（$\alpha\to1$时）之间插值。在本注记中，我们证明了一个显式的集中不等式，表明对于固定的$n$和$m$，经验谱测度与相应$\mu_\alpha$之间的有界-Lipschitz距离通常为$\sqrt{\frac{\log(m)}{m}}$阶或更小。该方法通过二维库仑气体理论，并利用了Chafa"i、Hardy和Ma"ida新近提出的“库仑传输不等式”。