随机矩阵：圆律

设 $\a$ 是一个均值为零且方差 $\sigma^{2}$ 有界的复随机变量。设 $N_{n}$ 是一个 $n$ 阶随机矩阵，其元素为 $\a$ 的独立同分布副本。设 $\lambda_{1}, ..., \lambda_{n}$ 为 $\frac{1}{\sigma \sqrt n}N_{n}$ 的特征值。通过公式 \mu_n(s,t) := \frac{1}{n} # \{k \leq n| \Re(\lambda_k) \leq s; \Im(\lambda_k) \leq t \} 定义 $N_{n}$ 的经验谱分布 $\mu_{n}$。圆律猜想断言，当 $n$ 趋于无穷大时，$\mu_{n}$ 收敛于单位圆盘上的均匀分布 $\mu_\infty$。我们在稍强的假设下证明了该猜想，即对于任意 $\eta >0$，$\a$ 的 $(2+\eta)\th$ 阶矩是有界的。我们的方法建立并改进了 Girko、Bai、G"otze-Tikhomirov 以及 Pan-Zhou 的早期工作，同时也适用于稀疏随机矩阵。本文的新关键要素是关于随机矩阵最小奇异值的一个一般性结果，该结果是利用加法组合学中的工具和思想获得的。