实对称回文 Toeplitz 矩阵与循环矩阵的特征值分布
摘要
考虑实对称 Toeplitz 矩阵族，其中每个独立项均为取自固定概率分布 p 的 i.i.d. 随机变量，p 的均值为 0、方差为 1 且具有有限高阶矩。先前研究表明，极限谱测度（归一化特征值的密度）弱收敛且几乎必然收敛，且与 p 无关，趋于一个近乎标准 Gaussian 的分布。对 Gaussian 行为的偏离可解释为源于 Diophantine 方程解的不存在性。我们证明，若考虑实对称回文 Toeplitz 矩阵（即首行为回文的矩阵），这些阻碍便消失。此前对相关的循环矩阵族通过显式特征值公式的分析已证明类似结果。由 Cauchy 交错性与秩不等式，该循环矩阵族与回文 Toeplitz 矩阵具有相同的极限谱分布；结合两种方法可得一个几乎必然中心极限定理的版本。因此我们对这些 Diophantine 方程的分析为证明某些循环矩阵族的极限谱测度提供了另一种技术。
引用
@article{arxiv.math/0512146,
title = {Distribution of Eigenvalues of Real Symmetric Palindromic Toeplitz Matrices and Circulant Matrices},
author = {Adam Massey and Steven J. Miller and John Sinsheimer},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0512146},
year = {2010}
}
备注
22 pages, 3 figures, continuation of Hammond-Miller (Distribution of eigenvalues for the ensemble of real symmetric Topelitz matrices). Final version. Changes: corrected some typos, added connections to certain circulant ensembles through the use of the Cauchy interlacing formula, added a version of the almost sure Central Limit Theorem. To appear in the Journal of Theoretical Probability