加权结构化矩阵系综的特征值分布

N x N 随机矩阵特征值的极限分布有许多应用。研究最为广泛的系综之一是具有独立同分布条目的实对称矩阵；其极限重标谱测度（LRSM）$\widetilde{\mu}$ 为半圆分布。已有研究确定了多种结构化系综的 LRSM，例如 Toeplitz 矩阵和循环矩阵。它们的行为截然不同；两者的 LRSM 均具有无界支撑。给定一个结构化系综，满足 (i) 每个随机变量在每行中出现 $o(N)$ 次，且 (ii) LRSM 存在，我们引入一个参数以在这些行为之间进行连续插值。我们固定一个 $p \in [1/2, 1]$，通过将矩阵的 $(i,j)$ 和 $(j,i)$ 条目乘以随机选取的 $\epsilon_{ij} \in \{1, -1\}$（其中 $\text{Prob}(\epsilon_{ij} = 1) = p$）（即 Hadamard 乘积），来研究带符号结构化矩阵的系综。对于 $p = 1/2$，我们证明极限带符号重标谱测度为半圆分布。对于所有其他的 $p$，若 $\widetilde{\mu}$ 具有有界（相应地，无界）支撑，则极限测度亦具有有界（相应地，无界）支撑，且当 $p \to 1$ 时收敛于 $\widetilde{\mu}$。值得注意的是，这些结果对 Toeplitz 和循环矩阵系综均成立。证明采用矩方法。分析涉及圆上 $2k$ 个顶点的配对。在带符号情形下，每种配对的贡献由一个依赖于 $p$ 和至少参与一次交叉的顶点数目的因子加权。这些数出现于组合学和纽结理论中。无顶点参与交叉的构型数已被充分研究，即 Catalan 数。我们针对至少参与一次交叉的顶点数不超过 10 的构型给出了类似公式。我们导出了至少参与一次交叉的顶点数目的期望值闭式表达式，并确定了其方差的渐近性。