重尾随机矩阵的谱

设 $X_N$ 为一个 $N\times N$ 随机对称矩阵，其元素独立同分布。若元素的分布律 $P$ 具有有限的二阶矩，Wigner \cite{wigner} 已证明，当 $N$ 趋于无穷大时，$X_N$ 的特征值经验分布在经 $\sqrt{N}$ 归一化后，几乎必然且依期望收敛于所谓的半圆分布。本文研究了当 $P$ 属于 $\alpha$-稳定律吸引域时的相同问题。我们证明，若将特征值用阶数为 $N^{\frac{1}{\alpha}}$ 的常数 $a_N$ 进行归一化，相应的谱分布依期望收敛于一个仅依赖于 $\alpha$ 的分布律 $\mu_\alpha$。我们刻画了 $\mu_\alpha$ 并研究了其部分性质；它是一个重尾概率测度，除可能在一个容量为零的紧集上外，关于 Lebesgue 测度绝对连续。