矩条件下的局部半圆律。第二部分：局域化与离域化

我们考虑一个随机对称矩阵 ${\bf X} = [X_{jk}]_{j,k=1}^n$，其上三角元素为独立同分布随机变量，均值为零，方差为 1。我们另假设对于某个 $\delta > 0$ 和某个绝对常数 $C$，有 $\mathbb E |X_{11}|^{4 + \delta} =: \mu_{4+\delta} < C$。在此条件下，我们证明 $n^{-1/2} {\bf X}$ 的特征值的经验谱分布函数与 Wigner 半圆律之间的典型 Kolmogorov 距离量级为 $1/n$（直至某个对数修正因子）。作为该结果的直接推论，我们确立了半圆律在短尺度上成立。此外，我们针对这一有限矩系综给出了特征值的刚性以及特征向量的离域化性质。文中包含了一些数值实验，说明了当仅存在少量矩时矩阵元素的尾部行为的影响。