Wigner随机矩阵的短尺度半圆律与特征向量的非局域化

我们考虑具有独立同分布元素的 N×N 厄米特随机矩阵。该矩阵经过归一化，使得相邻特征值之间的平均间距为 O(1/N) 量级。我们研究了微观能量尺度 η≪1 上的特征值统计与特征向量的（局域化/非局域化）性质之间的联系。在对单个矩阵元素的分布做出适当假设的前提下，我们首先给出了能量尺度为 η∼log N/N 量级时的态密度上界。然后我们证明，当能量尺度 η≫N^(-2/3) 时，态密度集中在Wigner半圆律附近。我们证明大多数特征向量是完全非局域化的，即其 ℓ^p-范数与 N^(1/p−1/2) 可比，对于所有特征值远离谱边的特征向量，我们得到了较弱界 N^(2/3)(1/p−1/2)。我们还证明，以概率非常接近1，不存在任何特征向量可以被局域化。最后，我们给出了格林函数二阶矩的最优界。