各向同性半圆律与 Wigner 矩阵的形变

我们分析 $N \times N$ Wigner 矩阵 $H$ 的有限秩加性形变的谱。当形变的某个特征值 $d_i$ 越过临界值 $\pm 1$ 时,形变矩阵的谱会发生与离群特征值的产生或湮灭相关的相变。该相变发生在尺度 $|d_i| - 1 \sim N^{-1/3}$ 上。我们允许形变的特征值 $d_i$ 在条件 $|d_i| - 1| \geq (\log N)^{C \log \log N} N^{-1/3}$ 下依赖于 $N$。我们对形变的特征向量不作任何假设。在 $N \to \infty$ 的极限下,我们确定了离群特征值的分布律,并证明靠近谱边缘的非离群特征值具有普适分布,与高斯矩阵系综的极端特征值分布一致。我们证明中的一个关键工具是\emph{各向同性局部半圆律},它对量 $\langle v,[(H - z)^{-1} - m(z) 1] w \rangle$ 建立了最优的高概率界,其中 $m(z)$ 是 Wigner 半圆律的 Stieltjes 变换,$v, w$ 是任意确定性向量。