与半圆分布的Free卷积以及Wigner矩阵尖峰形变的本征值
概率论
2011-09-19 v3
摘要
我们研究了当维数趋于无穷时，Wigner矩阵的尖峰扰动本征值的渐近行为。Hermite Wigner矩阵的条目具有对称分布，并满足Poincaré不等式。扰动矩阵是一个确定性Hermite矩阵，其谱测度收敛到某个具有紧支撑的概率测度。我们假设该扰动矩阵在其极限谱测度支撑之外有固定数量的固定本征值（尖峰），而其他本征值与该支撑的距离随着维数趋于无穷而一致地趋于零。我们证明，只有尖峰的一个特定子集才会在变形模型中产生一些本征值，这些本征值将收敛到极限谱测度支撑之外的某些极限点。这一现象可以完全用自由概率来描述，其中涉及与扰动矩阵的极限谱测度与半圆分布的加法自由卷积相关的从属函数。注意，到目前为止，只考虑了有限秩扰动（即使在变形的GUE情形下也是如此）。
引用
@article{arxiv.1006.3684,
title = {Free convolution with a semi-circular distribution and eigenvalues of spiked deformations of Wigner matrices},
author = {Mireille Capitaine and Catherine Donati-Martin and Delphine Féral and Maxime Février},
journal= {arXiv preprint arXiv:1006.3684},
year = {2011}
}