变形 Wigner 矩阵的离群值

我们推导了加法变形 Wigner 矩阵 $H$ 的离群特征值的联合渐近分布。我们对变形的唯一假设是其秩固定且范数有界。我们的结果扩展了 [The isotropic semicircle law and deformation of Wigner matrices. Preprint] 中的结果，允许离群值重叠并计算所有离群值的联合分布。特别是，我们完整描述了首先在 [Ann. Probab. 37 (2009) 1-47; Ann. Inst. Henri Poincar\'{e} Probab. Stat. 48 (1013) 107-133; Free convolution with a semi-circular distribution and eigenvalues of spiked deformations of Wigner matrices. Preprint] 中观察到的普适性失效。我们还表明，在适当条件下，即使离群值彼此相距甚远，它们也可能强相关。我们的证明依赖于 [The isotropic semicircle law and deformation of Wigner matrices. Preprint] 中建立的各向同性局部半圆律。本文的主要技术成就是形式为 $\langle\mathbf{v},(H-z)^{-1}\mathbf{w}\rangle$ 的任意有限随机变量族的联合渐近性。