Deformed Fr\'echet law for Wigner and sample covariance matrices with tail in crossover regime

给定 $A_n:=\frac{1}{\sqrt{n}}(a_{ij})$ 一个 $n\times n$ 的对称随机矩阵，其中对角线以上的元素由均值为零、方差为一的独立同分布随机变量给出。已知当 $\lim_{x\to\infty}x^4\mathbb{P}(|a_{ij}|>x)=0$ 时，最大特征值的数值波动遵循 Tracy-Widom 分布。当 $a_{ij}$ 的分布具有指数指数 $\alpha\in(0,4)$ 时，最大特征值服从 Fr\'echet 分布。近期发现，在 $\lim_{x\to\infty}x^4\mathbb{P}(|a_{ij}|>x)=c\in(0,\infty)$ 时，最大特征值的分布遵循变形 Fr\'echet 分布。本文大幅扩展了后者分布可能出现的范围。我们证明，相同的变形 Fr\'echet 分布还出现在 (1) 稀疏 Wigner 矩阵中，其每行平均具有 $n^{O(1)}$ 个非零条目；(2) 带宽为 $d_n=n^{O(1)}$ 的周期性带状 Wigner 矩阵中；以及更一般的任意 $k_n=n^{O(1)}$ 规则图的加权邻接矩阵中。在所有这些情况下，我们进一步证明了 $A_n$ 前几个最大特征值的联合分布形成变形泊松过程，并证明了这些异常特征值的特征向量是局部化的，这在谱边 $2$ 处暗示了迁移边缘现象。也探讨了稀疏度为 $n^{o(1)}$ 的情况。我们的方法也适用于样本协方差矩阵，首次证明其最大特征值仍遵循变形 Fr\'echet 分布，前提是矩阵元素满足 $\lim_{x\to\infty}x^4\mathbb{P}(|a_{ij}|>x)=c\in(0,\infty)$。