重尾椭圆随机矩阵的谱

椭圆随机矩阵 $X$ 是一个方阵，其 $(i,j)$ 元 $X_{ij}$ 除可能的 $X_{ji}$ 外与其余元独立。椭圆随机矩阵推广了 Wigner 矩阵和具有独立元的非厄米随机矩阵。当椭圆随机矩阵的元均值为零且方差为 1 时，经验谱分布已知收敛到由镜像元协方差决定的椭圆内部上的均匀分布。我们考虑元的二阶矩不有限的椭圆随机矩阵。我们的主要结果表明，当椭圆随机矩阵的元处于 $\alpha$-稳定随机变量的吸引域中，其中 $0<\alpha<2$，经验谱测度依概率收敛到一个确定性极限。这推广了 Bordenave、Caputo 和 Chafa"i 关于具有独立同分布元的重尾矩阵的结果。证明的关键要素是：(i) 在无矩假设下椭圆随机矩阵最小奇异值的一般界；以及 (ii) 矩阵在适当意义下到 Poisson 加权无限树上的随机算子的收敛。