行列间存在依赖关系的新随机矩阵模型的极限谱分布

我们引入了一种行与列之间条目均存在依赖关系的随机矩阵模型。更确切地说，我们研究了形式为 $\X=(X_{(i-1)n+t})_{it}\in\R^{p\times n}$ 的矩阵，其源自线性过程 $X_t=\sum_j c_j Z_{t-j}$，其中 $\{Z_t\}$ 是具有有界四阶矩的独立随机变量。我们证明，当 $p$ 和 $n$ 均趋于无穷大且比值 $p/n$ 收敛于有限正极限 $y$ 时，$p^{-1}\X\X^{\T}$ 的经验谱分布几乎必然收敛于一个确定性测度。该极限测度取决于 $y$ 和线性过程 $X_t$ 的谱密度，并由其 Stieltjes 变换的积分方程所刻画。矩阵 $p^{-1}\X\X^{\T}$ 可被解释为高维过程样本协方差矩阵的近似，该高维过程的分量是 $X_t$ 的独立副本。