关于具有长记忆和独立行的矩阵的经验谱分布

本文表明，由平稳正则序列的独立副本生成的任何样本协方差矩阵的经验特征值分布都有一个极限分布，该分布仅取决于序列的谱密度。我们通过一个特定的简单方程，利用 Stieltjes 变换刻画了这一极限。并未对协方差趋于零的速率施加任何限制。如果平稳序列的条目是独立随机变量的函数，则该结果在无任何其他附加假设的情况下成立。作为证明方法，我们研究了对角线以下具有独立行的对称矩阵的经验特征值分布；其条目满足 Lindeberg 型条件以及无速率要求的 mixingale 型条件。在这种非平稳设定下，我们指出了一种普适性性质，即对于大矩阵尺寸，经验特征值分布仅取决于序列的协方差结构，而与导致该结构的分布无关。这些结果本身具有研究价值，使得研究由兼具短记忆和长记忆的随机过程生成的对称随机矩阵成为可能。