非不变随机矩阵条件谱密度的理论

我们发展了一种理论方法，用于在 $N \rightarrow \infty$ 极限下计算 $N \times N$ 非不变随机矩阵的条件谱密度。这一大偏差可观测量定义为特征值分布条件于具有固定比例 $k$ 的小于 $x \in \mathbb{R}$ 的特征值，给出了偏离平均行为的非典型随机矩阵样本谱。我们将理论应用于稀疏随机矩阵，揭示了惊人崭新且通用的性质，即：（i）其条件谱密度具有紧支撑；（ii）其在 $k$ 围绕典型值附近不经历任何突变；（iii）其特征值不在 $x$ 处累积。此外，我们的工作指向条件谱密度在 $k$ 远离典型值时的其他类型转变。这些性质源于稀疏系综中弱或缺失的特征值排斥，并与经典或旋转不变随机矩阵所展现的性质形成鲜明对比。我们通过有限随机矩阵的数值对角化确认了理论结果的精确性。