样本协方差矩阵极限谱的高效计算

考虑一个 $n \times p$ 数据矩阵 $X$，其行独立地从具有协方差 $\Sigma$ 的总体中采样。当 $n,p$ 都很大时，样本协方差矩阵的特征值与实际协方差的特征值有显著差异。渐近地，当 $n,p \to \infty$ 且 $p/n \to \gamma$ 时，存在从总体谱分布（PSD）到特征值的经验谱分布（ESD）的确定性映射。该映射由Stieltjes变换的不动点方程刻画。我们提出一种新方法，从任意输入PSD数值计算输出ESD。我们的方法称为Spectrode，可高精度地找到ESD的支撑和密度；我们对有限离散分布证明了这一点。在计算实验中，它在速度和精度上比现有方法高出几个数量级。我们应用Spectrode计算ESD的期望和围道积分。这些量在随机矩阵理论（RMT）的应用中常常是核心。我们说明Spectrode在统计问题中直接有用，例如协方差矩阵的估计与假设检验。我们的提议可使在高维数据分析的各个方面使用渐近RMT更为便利。