样本协方差矩阵的特征向量经验谱分布的收敛性

特征向量经验谱分布（VESD）是研究协方差矩阵特征值和特征向量极限行为的有用工具。在本文中，我们研究了样本协方差矩阵的 VESD 到变形 Mar\v{c}enko-Pastur (MP) 分布的收敛速率。考虑形式为 $\Sigma^{1/2} X X^* \Sigma^{1/2}$ 的样本协方差矩阵，其中 $X=(x_{ij})$ 是一个 $M\times N$ 随机矩阵，其元素为均值为零、方差为 $N^{-1}$ 的独立随机变量，且 $\Sigma$ 是一个确定性正定矩阵。我们证明，对于任意固定的 $\epsilon>0$，只要元素 $\sqrt{N}x_{ij}$ 具有一致有界的 6 阶矩且 $|N/M-1|\ge \tau$（对于某个常数 $\tau>0$），期望 VESD 与变形 MP 分布之间的 Kolmogorov 距离就被 $N^{-1+\epsilon}$ 所界。该结果改进了 \cite{XYZ2013} 中获得的先前结果，后者在假设 $X$ 元素为 $i.i.d.$、有界 10 阶矩、$\Sigma=I$ 且 $M<N$ 下给出了 $O(N^{-1/2})$ 的收敛速率。此外，我们还证明了在有限 $8$ 阶矩假设下，VESD 的收敛速率对于任意固定的 $\epsilon>0$ 几乎必然为 $O(N^{-1/2+\epsilon})$，这改进了 \cite{XYZ2013} 中先前的界 $N^{-1/4+\epsilon}$。