具有独立元素的 $XX^T$ 矩阵

设 $S=XX^T$ 为(未缩放的)样本协方差矩阵,其中 $X$ 是一个元素独立的实 $p \times n$ 矩阵。众所周知,若 $X$ 的元素独立同分布(i.i.d.)且具有足够多的矩,且 $p/n \to y\neq 0$,则 $\frac{1}{n}S$ 的谱分布极限(LSD)收敛于 Mar$\check{\text{c}}$enko-Pastur 律。该结果的若干推广亦已为人所知。我们证明了关于 $S$ 的 LSD 在概率意义或几乎必然意义下存在的一般性结果,特别地,上述许多结果均作为特例随之成立。同时,若干新的 LSD 结果也可由我们的一般性结果推出。LSD 的矩相当复杂,但可通过一组划分来描述。与 i.i.d. 元素情形不同,这些划分未必是非交的,而是与已知出现在具有独立元素的(广义)Wigner 矩阵 LSD 中的特殊对称划分相关。我们还研究了当 $A$ 为以下四种随机矩阵的 $p\times n$ 对称或非对称版本时,$S_{A}=AA^T$ 的 LSD 存在性:反循环矩阵、循环矩阵、Toeplitz 矩阵和 Hankel 矩阵。上述四种情形下 $\frac{1}{n}S_{A}$ 的 LSD 已由 Bose、Gangopadhyay 和 Sen 于 2010 年在元素 i.i.d. 时研究过。我们表明,在关于 $A$ 元素的一些一般假设下,$S_{A}$ 的 LSD 存在,且该结果显著推广了已有结果。