具有 Curie-Weiss 条目的高维样本协方差矩阵

我们研究样本协方差矩阵 $XX^T$ 的极限谱分布，其中 $X$ 为 $p\times n$ 随机矩阵且条目相关，考虑 $p/n\to y\in [0,\infty)$ 的情形。若 $y>0$，我们得到 Mar\v{c}enko-Pastur 分布；在 $y=0$ 时（经适当重标度后）得到半圆分布。我们所考虑的条目为 Curie-Weiss 自旋，即相关的随机符号，其相关程度由逆温度 $\beta>0$ 控制。该模型在 $\beta=1$ 处呈现相变。任意两个条目间的相关性在 $\beta \in (0,1)$ 时以 $O(np)$ 的速率衰减，在 $\beta=1$ 时为 $O(\sqrt{np})$，而当 $\beta>1$ 时相关性在极限中不消失。证明中我们使用了 Stieltjes 变换与随机二次型的集中性。