关于收敛至 Marchenko-Pastur 分布的速率

设 $\mathbf X=(X_{jk})$ 为 $n\times p$ 随机矩阵，其元素 $X_{jk}$ 在 $1\le j\le n,1\le k\le p$ 范围内相互独立。我们研究矩阵 $\mathbf W=\frac1p\mathbf X\mathbf X^*$ 的经验谱分布函数收敛至 Marchenko-Pastur 律的速率。假设 $\mathbf E X_{jk}=0$，$\mathbf E X_{jk}^2=1$，且矩阵元素 $X_{jk}$ 的分布具有均匀次指数衰减性，即存在常数 $\varkappa>0$，使得对任意 $1\le j \le n,\,1\le k\le p$ 及任意 $t\ge 1$，均有 $$\mathbf{ Pr}\{|X_{jk}|>t\}\le \varkappa^{-1}\exp\{-t^{\varkappa}\}.$$ 通过递归论证表明，在高概率下，样本协方差矩阵 $\mathbf W$ 的经验谱分布与 Marchenko-Pastur 分布之间的 Kolmogorov 距离为 $O(n^{-1}\log^{4+\frac4{\varkappa}} n)$ 量级。