关于线性时间序列的 Mar\v{c}enko-Pastur 律

本文关注经典 Mar\v{c}enko-Pastur 律向时间序列的扩展。具体而言，考虑了 $p$ 维线性过程，这些过程由创新向量构建而成，其分量独立同分布（实值或复值），具有零均值、单位方差和有限的四阶矩。假设线性过程的系数矩阵可同时对角化。在此设定下，确定了样本协方差矩阵和对称化样本自协方差矩阵的经验谱分布在 $p/n\to c\in (0,\infty)$ 的高维设定下的极限行为，其中维度 $p$ 和样本量 $n$ 以相同的速率发散至无穷大。这些结果扩展了文献中关于协方差情形的现有贡献，并且是自协方差情形首批此类结果之一。