关于 Kendall tau 的另一个 Marchenko-Pastur 律

Bandeira 等人 (2017) 证明了 $\mathbb{R}^p$ 中 $n$ 个独立同分布随机向量的 Kendall 相关矩阵的特征值渐近分布于 $1/3 + (2/3)Y_q$，其中 $Y_q$ 服从参数为 $q=\lim(p/n)$ 的 Mar\v{c}enko-Pastur 律（当 $p, n\to\infty$ 且成比例变化时）。这里我们证明了，在 $p\sim q'\, n^2/2$（对于某个 $q'>0$）的“超高维”标度极限下，会出现另一个 Mar\v{c}enko-Pastur 律：在这个二次标度机制下，Kendall 相关特征值几乎必然弱收敛于 $(1/3)Y_{q'}$。