大维样本协方差矩阵特征向量经验谱分布的收敛速率

采用特征向量经验谱分布 (VESD) 来研究协方差矩阵的特征向量和特征值的极限行为。在本文中，我们将证明样本协方差矩阵的期望 VESD 与 Mar\v{c}enko-Pastur 分布函数之间的 Kolmogorov 距离为 $O(N^{-1/2})$ 阶。假设数据维度 $n$ 与样本量 $N$ 之比有界且在 0 到 1 之间，该收敛速率是在底层分布具有有限 10 阶矩的条件下建立的。研究还表明，对于任意固定的 $\eta>0$，VESD 的收敛速率依概率为 $O(N^{-1/4})$，几乎必然为 $O(N^{-1/4+\eta})$，这要求底层分布具有有限 8 阶矩。