高维自协方差矩阵的大样本性质

已知当观测来自无限维向量线性过程且系数矩阵满足适当（强）假设时，样本自协方差矩阵 $\hat{\Gamma}_u$ 的 $u$ 阶对称和 $\hat{\Gamma}_u+\hat{\Gamma}_u^*$ 的极限谱分布（LSD）存在。在显著更弱的条件下，我们以统一的方式证明了这些矩阵中任意对称多项式如 $\hat{\Gamma}_u+\hat{\Gamma}_u^*$、$\hat{\Gamma}_u\hat{\Gamma}_u^*$、$\hat{\Gamma}_u\hat{\Gamma}_u^*+\hat{\Gamma}_k\hat{\Gamma}_k^*$ 的 LSD 存在。我们的方法是通过更直观的自由概率代数方法结合矩方法。因此，我们能够根据一些自由独立变量给出极限的一般性描述。以往所有结果均作为特例推出。我们提出了这些 LSD 及相关结果在定阶和白噪声检验中的统计应用。