某些大样本协方差矩阵集的特征向量

我们考虑样本协方差矩阵 $S_N=\frac{1}{p}\Sigma_N^{1/2}X_NX_N^* \Sigma_N^{1/2}$，其中 $X_N$ 是具有有限 $12^{\rm th}$ 矩且元素独立同分布的 $N \times p$ 实或复矩阵，$\Sigma_N$ 是 $N \times N$ 正定矩阵。此外，我们假设当 $N \to \infty$ 且 $p/N \to \gamma >0$ 时，$\Sigma_N$ 的谱测度几乎必然收敛至某个极限概率分布。我们通过研究形如 $\frac{1}{N} \text{Tr} (g(\Sigma_N) (S_N-zI)^{-1}))$ 的泛函的渐近行为，来量化样本特征向量与总体特征向量之间的关系，其中 $I$ 为单位矩阵，$g$ 为有界函数，$z$ 为复数。该结果随后被用于计算样本特征值的渐近最优偏差校正，为改进协方差矩阵及其逆矩阵估计的新一代方法铺平了道路。