具有给定方差轮廓的Gram矩阵特征值的经验分布

考虑一个 $N\times n$ 随机矩阵 $Y_n=(Y_{ij}^{n})$，其中元素由 $Y_{ij}^{n}=\frac{\sigma(i/N,j/n)}{\sqrt{n}} X_{ij}^{n}$ 给出，$X_{ij}^{n}$ 为居中独立同分布，$\sigma:[0,1]^2 \to (0,\infty)$ 为一个称为方差轮廓的连续函数。现考虑一个确定性 $N\times n$ 矩阵 $\Lambda_n=(\Lambda_{ij}^{n})$，其非对角元素为零。记 $\Sigma_n$ 为非居中矩阵 $Y_n + \Lambda_n$。则在假设 $\lim_{n\to \infty} \frac Nn =c>0$ 且 $$\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \delta_{(\frac{i}{N}, (\Lambda_{ii}^n)^2)} \xrightarrow[n\to \infty]{} H(dx,d\lambda),$$ 其中 $H$ 为概率测度，下，证明了 $\Sigma_n \Sigma_n^T$ 的特征值的经验分布几乎必然依分布收敛于一个非随机概率测度。该测度以其Stieltjes变换刻画，而后者借助一个辅助方程组得到。此类结果在无线通信领域中有意义。