非均匀随机图的极限谱

我们考虑稀疏非均匀Erdős-Rényi随机图系综，其中边以概率$p_{ij}$独立连接。我们假设$p_{ij}= \varepsilon_N f(w_i, w_j)$，其中$(w_i)_{i\ge 1}$是一列确定性权重，$f$是有界函数，且$N\varepsilon_N\to \lambda\in (0,\infty)$。我们用图同态刻画极限矩，并对贡献划分进行分类。我们提出一种解析方法来确定极限测度的Stieltjes变换。经验分布函数的收敛性在许多例子中可由局部弱收敛理论推出，但我们不依赖该理论，而是利用组合和解析技术推导极限的一些有趣性质。我们扩展了Khorunzhy等人(2004)的方法，并证明一个不动点方程决定了极限测度。极限测度关键依赖于$\lambda$，并且已知在均匀情形下，若$\lambda\to\infty$，测度弱收敛于半圆律(Jung和Lee(2018))。我们将这一在稀疏和稠密区域之间插值的结果推广到非均匀设定，并证明当$\lambda\to \infty$时，测度弱收敛于一个被称为算子值半圆律的测度。