非中心 Gram 随机矩阵信息论统计量的中心极限定理

本文研究随机变量 $${\mathcal I}_n(\rho) = \frac 1N \log\det(\Sigma_n \Sigma_n^* + \rho I_N),\quad (\rho>0)$$ 的涨落，其中 $\Sigma_n= n^{-1/2} D_n^{1/2} X_n\tilde D_n^{1/2} +A_n$，当矩阵维数以相同速率趋于无穷时。矩阵 $X_n$ 和 $A_n$ 分别是随机和确定的 $N\times n$ 矩阵；矩阵 $D_n$ 和 $\tilde D_n$ 是确定且对角的，维数分别为 $N\times N$ 和 $n\times n$；矩阵 $X_n=(X_{ij})$ 具有中心化、独立同分布且方差为 1 的实或复元素。我们证明，当中心化并适当重新标度后，随机变量 ${\mathcal I}_n(\rho)$ 满足中心极限定理并具有高斯极限。${\mathcal I}_n(\rho)$ 的方差依赖于变量 $X_{ij}$ 的矩 $\E X_{ij}^2$ 及其四阶累积量 $\kappa= \E|X_{ij}|^4 - 2 - |\E X_{ij}^2|^2$。主要动机来自无线通信领域，其中 ${\mathcal I}_n(\rho)$ 表示多天线无线电信道的互信息。本文紧密遵循 Hachem 等人的姊妹篇论文“具有给定方差剖面的 Gram 随机矩阵信息论统计量的中心极限定理”，《应用概率年鉴》（2008），但非中心大随机矩阵相关涨落的研究提出了特定问题，本文对此进行了处理。