大型 Gram 矩阵谱波动的相变：稀疏 CLT 的统一框架

我们研究高维稀疏且具有方差轮廓的随机 Gram 矩阵的渐近谱行为，这源于无线通信中的应用动机。具体而言，我们考虑 Gram 矩阵 $\mathbf S_n=\mathbf Y_n\mathbf Y_n^*$，其中 $\mathbf Y_n$ 的元素是独立、中心、异方差且通过伯努利掩模实现稀疏化。稀疏度参数化为 $s=q^2/n$，其中 $q$ 范围从多项式阶数至 $n^{1/2}$ 阶。我们研究两种渐近情形：稀疏度中等情形中固定 $s\in(0,1]$，以及稀疏度高情形中 $s\to0$。在这两种情形中，我们建立了 $\mathbf S_n$ 的经验谱分布收敛于确定性极限，并进一步利用 Resolvent 技术和鞅差论证推导了线性谱统计量的中心极限定理。我们的分析揭示了两种情形下波动行为之间的相变。在高稀疏情形中，渐近波动完全由四阶矩效应支配，稀疏度缩放的贡献被抑制。此外，领先的确定性项和线性谱统计量的方差在 $q$ 中的比例不同，导致标准中心化失败，需显式修正才能恢复有效的 CLT。结果适用于高斯和非高斯情形，并通过针对假设检验和大规模 MIMO 系统的中断概率分析进行说明。