稀疏 Erd\H{o}s-R\'enyi 图函数的波动

设 $A$ 为 Erd\H{o}s-R\'enyi 图 $\cal G(N,p)$ 的（缩放后）邻接矩阵。对于 $N^{-1+\tau} \leqslant p\leqslant N^{-\tau}$，我们研究 $f(A)_{ii}$ 在全局和中尺度谱比例上的波动。我们证明，$f(A)_{ii}$ 的分布在不同尺度上渐近地等于两个独立的高斯随机变量之和，其中在谱尺度 $p$ 上发生相位转变。