稀疏 Erd\H{o}s-R\'enyi 图极端特征值的涨落

我们考虑一类包含 Erd\H{o}s-R\'enyi 图 $\mathcal{G}(N,p)$ 邻接矩阵的稀疏随机矩阵。我们证明，若 $N^{\varepsilon} \leq Np \leq N^{1/3-\varepsilon}$，则远离 0 的所有非平凡特征值具有渐近高斯涨落。这些涨落由单一随机变量控制，该随机变量可解释为图的总度数。这将文献 [19] 中关于极端特征值涨落的结果从 $Np \geq N^{2/9 + \varepsilon}$ 推广至最优尺度 $Np \geq N^{\varepsilon}$。我们证明的主要技术成果是极端特征值的一个精度为 $N^{-1/2-\varepsilon} \, (Np)^{-1/2}$ 的刚性界，它避免了文献 [9,19,24] 中的 $(Np)^{-1}$ 展开。我们的结果是补全文献 [8, 12, 19, 24] 的最后一块拼图，完整描述了 $Np \geq N^{\varepsilon}$ 时稀疏随机矩阵的特征值涨落。