中间度数随机正则图的边刚性与普适性

对于 $N$ 个顶点上、满足 $1 \ll d \ll N^{2/3}$ 的随机 $d$-正则图，我们发展了关于 Kesten-McKay 律的局部特征值分布的一个 $d^{-1/2}$ 展开，直至 $d^{-3}$ 阶。该结果在谱边缘处依然成立。它意味着此类随机正则图的特征值比相同平均度数的 Erd\H{o}s-R\'enyi 图的特征值更具刚性。作为第一个应用，对 $1 \ll d \ll N^{2/3}$，我们证明邻接矩阵的所有非平凡特征值以极高概率被绝对界 $(2 + o(1)) \sqrt{d - 1}$ 所限制。作为第二个应用，对 $N^{2/9} \ll d \ll N^{1/3}$，我们证明极值特征值在 $N^{-2/3}$ 尺度上集中，且其涨落由 Tracy-Widom 统计支配。因此，在同一 $d$ 区间内，$52\%$ 的所有 $d$-正则图的第二最大特征值严格小于 $2 \sqrt{d - 1}$。