随机图的极端谱性质
无序系统与神经网络
2025-06-17 v1
摘要
本文研究了随机加权邻接矩阵的极端本征态的若干统计性质。我们关注两种随机图模型：Erdős-Rényi (ER) 图和随机几何图 (RGG)。事实上，两种图模型的邻接矩阵均为随机矩阵理论 (RMT) 中高斯正交系综 (GOE) 的稀疏版本，使得随着图平均度 ⟨k⟩ 的增加，可观察到从泊松系综 (PE) 到 GOE 的转变。首先，我们给出了渗流阈值上下两个区域的谱密度关于 ⟨k⟩ 的表达式。然后我们证明，最大本征值 λ₁ 和次大本征值 λ₂ 的分布在 ⟨k⟩ ≫ 1 时均趋近于第一类 Tracy-Widom 分布，且 ⟨λ₁⟩ = √(2⟨k⟩)。此外，我们证明了 λ₁ 与 λ₂ 之间归一化距离的分布、更高阶相邻本征值间距之比的分布，以及极端本征态的逆参与率分布均随 ⟨k⟩ 呈现清晰的 PE 到 GOE 转变，因此这些分布中的任意一个均可有效用于探测图模型的离域化转变，而无需完整谱。
引用
@article{arxiv.2506.12343,
title = {On the extremal spectral properties of random graphs},
author = {C. T Martínez Martínez and J. A. Méndez Bermúdez},
journal= {arXiv preprint arXiv:2506.12343},
year = {2025}
}