高维空间中随机图的刚性

我们研究使得 Erd\H{o}s-R\'enyi $G(n,p)$ 随机图具有 $d$-刚性的最大维度 $d=d(n,p)$。我们的主要结果揭示了 $G(n,p)$ 中刚性存在的两个不同区间，其分界点为 $p_c=C_*\log n/n,~C_*=2/(1-\log 2)$ ——即图的最小度超过其平均度一半的点。我们证明，若 $p < (1-\varepsilon)p_c$，则 $d(n,p)$ 渐近几乎必然 (a.a.s.) 等于 $G(n,p)$ 的最小度。相反，若 $p_c \leq p = o(n^{-1/2})$，则 $d(n,p)$ a.a.s. 等于 $(1/2 + o(1))np$。第二个结果在此区间内证实了 Krivelevich、Lew 和 Michaeli 的猜想。