随机子图中的大匹配与近似 spanning、近似规则子图

给定图 $G$ 和 $p\in [0,1]$，随机子图 $G_p$ 通过独立保留每个边的概率 $p$ 获得。我们证明：对于任意 $\epsilon>0$，存在常数 $C>0$ 使得以下结果成立。设 $d\ge C$ 为整数，$G$ 为 $d$ 正则图，$p\ge \frac{C}{d}$。则当 $|V(G)|$ 趋向无穷时，以概率趋向1，$G_p$ 中存在覆盖至少 $(1-\epsilon)|V(G)|$ 个顶点的匹配。我们进一步证明：对于广泛的 $d$ 正则图族（包括 $d$ 维超立方体），当 $p\ge \frac{\log^5d}{d}$ 时，以概率趋向1（当 $d$ 趋向无穷），$G_p$ 包含一个在至少 $(1-o(1))|V(G)|$ 个顶点上、其度数紧密集中于期望平均度数 $dp$ 的诱导子图。