伪随机图随机子图中巨大分支的出现

设 $G$ 是一个有 $n$ 个顶点的 $d$-正则图。假设 $G$ 的邻接矩阵满足按绝对值第二大的特征值 $\lambda$ 有 $\lambda=o(d)$。令 $G_p$ 其中 $p=\frac{\alpha}{d}$，通过对 $G$ 的每条边以概率 $p$ 独立保留而得到。我们证明，若 $\alpha<1$，则高概率地 $G_p$ 的最大分支大小为 $O(\log n)$；若 $\alpha>1$，则 $G_p$ 包含一个大小为 $\Omega(n)$ 的唯一巨大分支，而所有其他分支大小为 $O(\log n)$。