超立方体超临界随机子图的扩张性及其推论

众所周知，一个 $d$ 维超立方体的随机子图（其中每条边以概率 $p$ 独立包含）的行为在 $p$ 约为 $\frac{1}{d}$ 时会发生相变。更精确地说，标准论证表明，当 $p$ 略低于此值时，该图的所有连通分量阶均为 $O(d)$，且概率随 $d \to \infty$ 趋于一（简记为 whp）；而 Ajtai、Koml\'{o}s 和 Szemer\'{e}di [Largest random component of a $k$-cube, Combinatorica 2 (1982), no. 1, 1--7; MR0671140] 证明了当 $p$ 略高于此值（即超临界区间）时，whp 存在一个阶为 $\Theta\left(2^d\right)$ 的唯一“巨型”连通分量。我们证明了 whp 该巨型连通分量的顶点扩张性关于 $d$ 为逆多项式。作为推论，我们得到了关于巨型连通分量直径及其上惰性随机游走的混合时间的关于 $d$ 的多项式界，回答了 Bollob\'{a}s、Kohayakawa 和 {\L}uczak [On the diameter and radius of random subgraphs of the cube, Random Structures and Algorithms 5 (1994), no. 5, 627--648; MR1300592] 以及 Pete [A note on percolation on $\mathbb{Z}^d$: isoperimetric profile via exponential cluster repulsion, Electron. Commun. Probab. 13 (2008), 377--392; MR2415145] 的问题。此外，我们的结果给出了该 $p$ 区间下超立方体随机子图周长与 Hadwiger 数的下界，这些下界在 $d$ 的多项式因子范围内是最优的。