超立方体超临界随机子图的扩张性、长圈与完全子式

类似于二项随机图 $G(d+1,p)$ 的情形，已知 $d$ 维超立方体的随机子图（其中每条边以概率 $p$ 独立包含，记为 $Q^d_p$）在临界值 $p=\frac{1}{d}$ 附近经历相变。更精确地，标准论证表明在该 $p$ 值显著以下时，随着 $d \to \infty$ 概率趋于一（简记为 whp），该图所有分支的阶为 $O(d)$；而 Ajtai、Koml\'{o}s 和 Szemer\'{e}di 证明在该值显著以上时，在\emph{超临界区间}内 whp 存在唯一的阶为 $\Theta\left(2^d\right)$ 的“巨型”分支。在 $G(d+1,p)$ 中，关于该超临界区间出现的随机图的复杂结构已知更多。例如，已知在该区间内 whp $G(d+1,p)$ 包含长度为 $\Omega(d)$ 的路径与圈，以及阶为 $\Omega\left(\sqrt{d}\right)$ 的完全子式。在本文中，我们在 $Q^d_p$ 中获得了类似结果。特别地，我们证明对于超临界 $p$，即当 $p=\frac{1+\epsilon}{d}$（$\epsilon$ 为正常数）时，whp $Q^d_p$ 包含长度为 $\Omega\left(\frac{2^d}{d^3(\log d)^3} \right)$ 的圈以及阶为 $\Omega\left(\frac{2^{\frac{d}{2}}}{d^3(\log d)^3 }\right)$ 的完全子式。为证明这些结果，我们证明 whp $Q^d_p$ 的最大分支具有好的边扩张性质，这是一个具有独立兴趣的结果。我们还考虑了 $Q^d_p$ 的亏格，并证明在此 $p$ 区间内 whp 亏格为 $\Omega\left(2^d\right)$。