高维图上的等周不等式与超临界渗流

已知许多不同类型有限随机子图模型在其渗流阈值附近经历定量相似的相变，且这些结果的证明依赖于底层宿主图的等周性质。近来，作者证明了此类相变在一大类正则高维积图中发生，推广了超立方体的经典结果。本文给出此类正则高维积图的新等周不等式，其推广了著名的 Harper 超立方体等周不等式，并对广泛集合大小渐近锐利。我们随后利用这些等周性质研究这些积图上超临界渗流中巨连通分量 $L_1$ 的结构，即当 $p=\frac{1+\epsilon}{d}$ 时，其中 $d$ 为积图度数且 $\epsilon>0$ 为足够小常数。我们证明典型地 $L_1$ 具有边扩张 $\Omega\left(\frac{1}{d\ln d}\right)$。进一步，我们证明 $L_1$ 很可能包含一个具有顶点扩张 $\Omega\left(\frac{1}{d\ln d}\right)$ 的线性大小子图。这些结果在 $d$ 的对数因子范围内是最优的。利用这些可能的扩张性质，我们确定了（在 $d$ 的小多对数因子范围内）$L_1$ 的可能直径以及 $L_1$ 上懒惰随机游走的典型混合时间。此外，我们展示了长度 $\Omega\left(\frac{n}{d\ln d}\right)$ 路径的可能存在性。这些结果不仅推广，而且实质性改进了超立方体情形的已知界，其中特别是 $L_1$ 的可能直径与典型混合时间先前仅知为 $d$ 的多项式。