随机 $d$-正则图上临界渗流出现反常大分支的概率

设 $d\ge 3$ 为固定整数，$p\in (0,1)$，并设 $n\geq 1$ 为使得 $dn$ 为偶数的正整数。令 $\mathbb{G}(n, d, p)$ 为 $[n]$ 上均匀随机选取的 $d$-正则（简单）图并对其进行独立 $p$-边渗流所得到的（随机）图，即我们以概率 $p$ 独立保留每条边并以概率 $1-p$ 删除它。令 $|\mathcal{C}_{\text{max}}|$ 为 $\mathbb{G}(n, d, p)$ 中最大分支的大小。我们证明，当 $p$ 形如 $p=(d-1)^{-1}(1+\lambda n^{-1/3})$（$\lambda\in \mathbb{R}$）且 $A$ 较大时，\begin{align*} \mathbb{P}(|\mathcal{C}_{\text{max}}|>An^{2/3})\asymp A^{-3/2}e^{-\frac{A^3(d-1)(d-2)}{8d^2}+\frac{\lambda A^2(d-2)^2}{2d(d-1)}-\frac{\lambda^2 A(d-1)}{2(d-2)}}. \end{align*} 这改进了 Nachmias 与 Peres 的结果。我们还给出了某一特定顶点位于大小大于 $An^{2/3}$ 的分支中的概率的类似渐近式。