$\mathbb{Z}^n$上1-独立渗流的改进界

图$G$上的1-独立边渗流模型是$G$的生成子图上的一个概率分布，其中对所有顶点不交的边集$S_1$与$S_2$，$S_1$中边的状态独立于$S_2$中边的状态。若随机子图以正概率含有一个无限分支，则称该模型渗流。2012年第一作者与Bollobás定义$p_{\max}(G)$为如下那些$p$的上确界：在$G$上存在1-独立边渗流模型，其中每条边在随机子图中出现的概率至少为$p$，但该模型不渗流。该领域一个基本且具挑战性的问题是在$G$为晶格图$\mathbb{Z}^2$时确定$p_{\max}(G)$的值。由于$p_{\max}(\mathbb{Z}^n)\leq p_{\max}(\mathbb{Z}^{n-1})$，确定$\lim_{n\to\infty} p_{\max}(\mathbb{Z}^n)$的值亦引人关注。本文显著改进了该极限的最佳已知上界，并给出了$\mathbb{Z}^2$上$p_{\max}$更优的上界与下界。在证明这些结果时，我们还给出了超立方体图上1-独立模型渐近几乎必然包含巨大分支的临界概率的上界。